The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(1, n^1).

(0) Obligation:

The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(1, n^1).


The TRS R consists of the following rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(U11(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0)) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(isNatList(V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(isNat(V1))
active(isNatIList(V)) → mark(isNatList(V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(and(isNat(V1), isNatIList(V2)))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(and(isNat(V1), isNatList(V2)))
active(length(nil)) → mark(0)
active(length(cons(N, L))) → mark(U11(and(isNatList(L), isNat(N)), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0) → ok(0)
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))

Rewrite Strategy: INNERMOST

(1) NestedDefinedSymbolProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

The following defined symbols can occur below the 0th argument of cons: active, proper, cons
The following defined symbols can occur below the 1th argument of cons: active, proper, cons
The following defined symbols can occur below the 0th argument of top: active, proper, cons
The following defined symbols can occur below the 0th argument of proper: active, proper, cons
The following defined symbols can occur below the 0th argument of active: active, proper, cons

Hence, the left-hand sides of the following rules are not basic-reachable and can be removed:
active(U11(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0)) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(isNatList(V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(isNat(V1))
active(isNatIList(V)) → mark(isNatList(V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(and(isNat(V1), isNatIList(V2)))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(and(isNat(V1), isNatList(V2)))
active(length(nil)) → mark(0)
active(length(cons(N, L))) → mark(U11(and(isNatList(L), isNat(N)), L))
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))

(2) Obligation:

The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(1, n^1).


The TRS R consists of the following rules:

U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
top(ok(X)) → top(active(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(0) → ok(0)
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))

Rewrite Strategy: INNERMOST

(3) CpxTrsMatchBoundsTAProof (EQUIVALENT transformation)

A linear upper bound on the runtime complexity of the TRS R could be shown with a Match-Bound[TAB_LEFTLINEAR,TAB_NONLEFTLINEAR] (for contructor-based start-terms) of 5.

The compatible tree automaton used to show the Match-Boundedness (for constructor-based start-terms) is represented by:
final states : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]
transitions:
ok0(0) → 0
tt0() → 0
nil0() → 0
zeros0() → 0
mark0(0) → 0
00() → 0
U110(0, 0) → 1
top0(0) → 2
proper0(0) → 3
cons0(0, 0) → 4
and0(0, 0) → 5
isNat0(0) → 6
active0(0) → 7
s0(0) → 8
length0(0) → 9
isNatList0(0) → 10
isNatIList0(0) → 11
U111(0, 0) → 12
ok1(12) → 1
active1(0) → 13
top1(13) → 2
tt1() → 14
ok1(14) → 3
nil1() → 15
ok1(15) → 3
zeros1() → 16
ok1(16) → 3
cons1(0, 0) → 17
ok1(17) → 4
and1(0, 0) → 18
mark1(18) → 5
isNat1(0) → 19
ok1(19) → 6
01() → 21
zeros1() → 22
cons1(21, 22) → 20
mark1(20) → 7
and1(0, 0) → 23
ok1(23) → 5
s1(0) → 24
ok1(24) → 8
U111(0, 0) → 25
mark1(25) → 1
s1(0) → 26
mark1(26) → 8
length1(0) → 27
mark1(27) → 9
01() → 28
ok1(28) → 3
isNatList1(0) → 29
ok1(29) → 10
length1(0) → 30
ok1(30) → 9
cons1(0, 0) → 31
mark1(31) → 4
isNatIList1(0) → 32
ok1(32) → 11
proper1(0) → 33
top1(33) → 2
ok1(12) → 12
ok1(12) → 25
ok1(14) → 33
ok1(15) → 33
ok1(16) → 33
ok1(17) → 17
ok1(17) → 31
mark1(18) → 18
mark1(18) → 23
ok1(19) → 19
mark1(20) → 13
ok1(23) → 18
ok1(23) → 23
ok1(24) → 24
ok1(24) → 26
mark1(25) → 12
mark1(25) → 25
mark1(26) → 24
mark1(26) → 26
mark1(27) → 27
mark1(27) → 30
ok1(28) → 33
ok1(29) → 29
ok1(30) → 27
ok1(30) → 30
mark1(31) → 17
mark1(31) → 31
ok1(32) → 32
active2(14) → 34
top2(34) → 2
active2(15) → 34
active2(16) → 34
active2(28) → 34
proper2(20) → 35
top2(35) → 2
02() → 37
zeros2() → 38
cons2(37, 38) → 36
mark2(36) → 34
proper2(21) → 39
proper2(22) → 40
cons2(39, 40) → 35
zeros2() → 41
ok2(41) → 40
02() → 42
ok2(42) → 39
proper3(36) → 43
top3(43) → 2
cons3(42, 41) → 44
ok3(44) → 35
proper3(37) → 45
proper3(38) → 46
cons3(45, 46) → 43
zeros3() → 47
ok3(47) → 46
03() → 48
ok3(48) → 45
active3(44) → 49
top3(49) → 2
cons4(48, 47) → 50
ok4(50) → 43
active4(42) → 51
cons4(51, 41) → 49
active4(50) → 52
top4(52) → 2
active5(48) → 53
cons5(53, 47) → 52

(4) BOUNDS(1, n^1)

(5) CpxTrsToCdtProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Converted Cpx (relative) TRS to CDT

(6) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

U11(ok(z0), ok(z1)) → ok(U11(z0, z1))
U11(mark(z0), z1) → mark(U11(z0, z1))
top(ok(z0)) → top(active(z0))
top(mark(z0)) → top(proper(z0))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
and(mark(z0), z1) → mark(and(z0, z1))
and(ok(z0), ok(z1)) → ok(and(z0, z1))
isNat(ok(z0)) → ok(isNat(z0))
active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
s(ok(z0)) → ok(s(z0))
s(mark(z0)) → mark(s(z0))
length(mark(z0)) → mark(length(z0))
length(ok(z0)) → ok(length(z0))
isNatList(ok(z0)) → ok(isNatList(z0))
isNatIList(ok(z0)) → ok(isNatIList(z0))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(tt) → c4
PROPER(nil) → c5
PROPER(zeros) → c6
PROPER(0) → c7
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(zeros) → c14(CONS(0, zeros))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))

S tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(tt) → c4
PROPER(nil) → c5
PROPER(zeros) → c6
PROPER(0) → c7
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(zeros) → c14(CONS(0, zeros))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))

K tuples:none
Defined Rule Symbols:

U11, top, proper, cons, and, isNat, active, s, length, isNatList, isNatIList

Defined Pair Symbols:

U11', TOP, PROPER, CONS, AND, ISNAT, ACTIVE, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST

Compound Symbols:

c, c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c14, c15, c16, c17, c18, c19, c20, c21

(7) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 5 trailing nodes:

PROPER(0) → c7
PROPER(zeros) → c6
ACTIVE(zeros) → c14(CONS(0, zeros))
PROPER(nil) → c5
PROPER(tt) → c4

(8) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

U11(ok(z0), ok(z1)) → ok(U11(z0, z1))
U11(mark(z0), z1) → mark(U11(z0, z1))
top(ok(z0)) → top(active(z0))
top(mark(z0)) → top(proper(z0))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
and(mark(z0), z1) → mark(and(z0, z1))
and(ok(z0), ok(z1)) → ok(and(z0, z1))
isNat(ok(z0)) → ok(isNat(z0))
active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
s(ok(z0)) → ok(s(z0))
s(mark(z0)) → mark(s(z0))
length(mark(z0)) → mark(length(z0))
length(ok(z0)) → ok(length(z0))
isNatList(ok(z0)) → ok(isNatList(z0))
isNatIList(ok(z0)) → ok(isNatIList(z0))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))

S tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))

K tuples:none
Defined Rule Symbols:

U11, top, proper, cons, and, isNat, active, s, length, isNatList, isNatIList

Defined Pair Symbols:

U11', TOP, PROPER, CONS, AND, ISNAT, ACTIVE, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST

Compound Symbols:

c, c1, c2, c3, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c15, c16, c17, c18, c19, c20, c21

(9) CdtUsableRulesProof (EQUIVALENT transformation)

The following rules are not usable and were removed:

U11(ok(z0), ok(z1)) → ok(U11(z0, z1))
U11(mark(z0), z1) → mark(U11(z0, z1))
top(ok(z0)) → top(active(z0))
top(mark(z0)) → top(proper(z0))
and(mark(z0), z1) → mark(and(z0, z1))
and(ok(z0), ok(z1)) → ok(and(z0, z1))
isNat(ok(z0)) → ok(isNat(z0))
s(ok(z0)) → ok(s(z0))
s(mark(z0)) → mark(s(z0))
length(mark(z0)) → mark(length(z0))
length(ok(z0)) → ok(length(z0))
isNatList(ok(z0)) → ok(isNatList(z0))
isNatIList(ok(z0)) → ok(isNatIList(z0))

(10) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))

S tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))

K tuples:none
Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', TOP, PROPER, CONS, AND, ISNAT, ACTIVE, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST

Compound Symbols:

c, c1, c2, c3, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c15, c16, c17, c18, c19, c20, c21

(11) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)) transformation)

Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))

We considered the (Usable) Rules:none
And the Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))

The order we found is given by the following interpretation:
Polynomial interpretation :

POL(0) = 0   
POL(ACTIVE(x₁)) = 0   
POL(AND(x₁, x₂)) = x₁   
POL(CONS(x₁, x₂)) = 0   
POL(ISNAT(x₁)) = x₁   
POL(ISNATILIST(x₁)) = 0   
POL(ISNATLIST(x₁)) = 0   
POL(LENGTH(x₁)) = 0   
POL(PROPER(x₁)) = 0   
POL(S(x₁)) = x₁   
POL(TOP(x₁)) = 0   
POL(U11'(x₁, x₂)) = 0   
POL(active(x₁)) = 0   
POL(c(x₁)) = x₁   
POL(c1(x₁)) = x₁   
POL(c10(x₁)) = x₁   
POL(c11(x₁)) = x₁   
POL(c12(x₁)) = x₁   
POL(c13(x₁)) = x₁   
POL(c15(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c16(x₁)) = x₁   
POL(c17(x₁)) = x₁   
POL(c18(x₁)) = x₁   
POL(c19(x₁)) = x₁   
POL(c2(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c20(x₁)) = x₁   
POL(c21(x₁)) = x₁   
POL(c3(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c8(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂ + x₃   
POL(c9(x₁)) = x₁   
POL(cons(x₁, x₂)) = 0   
POL(mark(x₁)) = [1] + x₁   
POL(nil) = 0   
POL(ok(x₁)) = [1] + x₁   
POL(proper(x₁)) = 0   
POL(tt) = 0   
POL(zeros) = 0   

(12) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))

S tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', TOP, PROPER, CONS, AND, ISNAT, ACTIVE, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST

Compound Symbols:

c, c1, c2, c3, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c15, c16, c17, c18, c19, c20, c21

(13) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)) transformation)

Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))

We considered the (Usable) Rules:none
And the Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))

The order we found is given by the following interpretation:
Polynomial interpretation :

POL(0) = 0   
POL(ACTIVE(x₁)) = 0   
POL(AND(x₁, x₂)) = 0   
POL(CONS(x₁, x₂)) = 0   
POL(ISNAT(x₁)) = 0   
POL(ISNATILIST(x₁)) = x₁   
POL(ISNATLIST(x₁)) = x₁   
POL(LENGTH(x₁)) = x₁   
POL(PROPER(x₁)) = 0   
POL(S(x₁)) = x₁   
POL(TOP(x₁)) = 0   
POL(U11'(x₁, x₂)) = x₁   
POL(active(x₁)) = 0   
POL(c(x₁)) = x₁   
POL(c1(x₁)) = x₁   
POL(c10(x₁)) = x₁   
POL(c11(x₁)) = x₁   
POL(c12(x₁)) = x₁   
POL(c13(x₁)) = x₁   
POL(c15(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c16(x₁)) = x₁   
POL(c17(x₁)) = x₁   
POL(c18(x₁)) = x₁   
POL(c19(x₁)) = x₁   
POL(c2(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c20(x₁)) = x₁   
POL(c21(x₁)) = x₁   
POL(c3(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c8(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂ + x₃   
POL(c9(x₁)) = x₁   
POL(cons(x₁, x₂)) = 0   
POL(mark(x₁)) = [1] + x₁   
POL(nil) = 0   
POL(ok(x₁)) = [1] + x₁   
POL(proper(x₁)) = 0   
POL(tt) = 0   
POL(zeros) = 0   

(14) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))

S tuples:

TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', TOP, PROPER, CONS, AND, ISNAT, ACTIVE, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST

Compound Symbols:

c, c1, c2, c3, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c15, c16, c17, c18, c19, c20, c21

(15) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)) transformation)

Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.

TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))

We considered the (Usable) Rules:

proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
proper(0) → ok(0)
active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))

And the Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))

The order we found is given by the following interpretation:
Polynomial interpretation :

POL(0) = 0   
POL(ACTIVE(x₁)) = 0   
POL(AND(x₁, x₂)) = x₂   
POL(CONS(x₁, x₂)) = 0   
POL(ISNAT(x₁)) = x₁   
POL(ISNATILIST(x₁)) = 0   
POL(ISNATLIST(x₁)) = 0   
POL(LENGTH(x₁)) = 0   
POL(PROPER(x₁)) = 0   
POL(S(x₁)) = 0   
POL(TOP(x₁)) = x₁   
POL(U11'(x₁, x₂)) = 0   
POL(active(x₁)) = x₁   
POL(c(x₁)) = x₁   
POL(c1(x₁)) = x₁   
POL(c10(x₁)) = x₁   
POL(c11(x₁)) = x₁   
POL(c12(x₁)) = x₁   
POL(c13(x₁)) = x₁   
POL(c15(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c16(x₁)) = x₁   
POL(c17(x₁)) = x₁   
POL(c18(x₁)) = x₁   
POL(c19(x₁)) = x₁   
POL(c2(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c20(x₁)) = x₁   
POL(c21(x₁)) = x₁   
POL(c3(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c8(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂ + x₃   
POL(c9(x₁)) = x₁   
POL(cons(x₁, x₂)) = x₁   
POL(mark(x₁)) = [1] + x₁   
POL(nil) = 0   
POL(ok(x₁)) = x₁   
POL(proper(x₁)) = x₁   
POL(tt) = 0   
POL(zeros) = [1]   

(16) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))

S tuples:

TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', TOP, PROPER, CONS, AND, ISNAT, ACTIVE, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST

Compound Symbols:

c, c1, c2, c3, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c15, c16, c17, c18, c19, c20, c21

(17) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)) transformation)

Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.

TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))

We considered the (Usable) Rules:

proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
proper(0) → ok(0)
active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))

And the Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))

The order we found is given by the following interpretation:
Polynomial interpretation :

POL(0) = 0   
POL(ACTIVE(x₁)) = 0   
POL(AND(x₁, x₂)) = x₂   
POL(CONS(x₁, x₂)) = 0   
POL(ISNAT(x₁)) = 0   
POL(ISNATILIST(x₁)) = 0   
POL(ISNATLIST(x₁)) = 0   
POL(LENGTH(x₁)) = 0   
POL(PROPER(x₁)) = 0   
POL(S(x₁)) = 0   
POL(TOP(x₁)) = x₁   
POL(U11'(x₁, x₂)) = x₂   
POL(active(x₁)) = x₁   
POL(c(x₁)) = x₁   
POL(c1(x₁)) = x₁   
POL(c10(x₁)) = x₁   
POL(c11(x₁)) = x₁   
POL(c12(x₁)) = x₁   
POL(c13(x₁)) = x₁   
POL(c15(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c16(x₁)) = x₁   
POL(c17(x₁)) = x₁   
POL(c18(x₁)) = x₁   
POL(c19(x₁)) = x₁   
POL(c2(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c20(x₁)) = x₁   
POL(c21(x₁)) = x₁   
POL(c3(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c8(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂ + x₃   
POL(c9(x₁)) = x₁   
POL(cons(x₁, x₂)) = x₁   
POL(mark(x₁)) = [2] + x₁   
POL(nil) = [2]   
POL(ok(x₁)) = [1] + x₁   
POL(proper(x₁)) = [2] + x₁   
POL(tt) = 0   
POL(zeros) = [2]   

(18) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))

S tuples:

PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', TOP, PROPER, CONS, AND, ISNAT, ACTIVE, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST

Compound Symbols:

c, c1, c2, c3, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c15, c16, c17, c18, c19, c20, c21

(19) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)) transformation)

Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.

ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

We considered the (Usable) Rules:

proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
proper(0) → ok(0)
active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))

And the Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))

The order we found is given by the following interpretation:
Polynomial interpretation :

POL(0) = 0   
POL(ACTIVE(x₁)) = x₁   
POL(AND(x₁, x₂)) = [2]x₂²   
POL(CONS(x₁, x₂)) = 0   
POL(ISNAT(x₁)) = 0   
POL(ISNATILIST(x₁)) = 0   
POL(ISNATLIST(x₁)) = [2]x₁ + x₁²   
POL(LENGTH(x₁)) = 0   
POL(PROPER(x₁)) = 0   
POL(S(x₁)) = 0   
POL(TOP(x₁)) = [2]x₁²   
POL(U11'(x₁, x₂)) = [2]x₁ + x₁²   
POL(active(x₁)) = x₁   
POL(c(x₁)) = x₁   
POL(c1(x₁)) = x₁   
POL(c10(x₁)) = x₁   
POL(c11(x₁)) = x₁   
POL(c12(x₁)) = x₁   
POL(c13(x₁)) = x₁   
POL(c15(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c16(x₁)) = x₁   
POL(c17(x₁)) = x₁   
POL(c18(x₁)) = x₁   
POL(c19(x₁)) = x₁   
POL(c2(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c20(x₁)) = x₁   
POL(c21(x₁)) = x₁   
POL(c3(x₁, x₂)) = x₁ + x₂   
POL(c8(x₁, x₂, x₃)) = x₁ + x₂ + x₃   
POL(c9(x₁)) = x₁   
POL(cons(x₁, x₂)) = [1] + x₁   
POL(mark(x₁)) = [1] + x₁   
POL(nil) = 0   
POL(ok(x₁)) = [1] + x₁   
POL(proper(x₁)) = [1] + x₁   
POL(tt) = 0   
POL(zeros) = [2]   

(20) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))

S tuples:

PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', TOP, PROPER, CONS, AND, ISNAT, ACTIVE, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST

Compound Symbols:

c, c1, c2, c3, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c15, c16, c17, c18, c19, c20, c21

(21) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use narrowing to replace TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0)) by

TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))), ACTIVE(zeros))
TOP(ok(cons(z0, z1))) → c2(TOP(cons(active(z0), z1)), ACTIVE(cons(z0, z1)))

(22) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))), ACTIVE(zeros))
TOP(ok(cons(z0, z1))) → c2(TOP(cons(active(z0), z1)), ACTIVE(cons(z0, z1)))

S tuples:

PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', TOP, PROPER, CONS, AND, ISNAT, ACTIVE, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST

Compound Symbols:

c, c1, c3, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c15, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2

(23) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 1 trailing tuple parts

(24) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(cons(z0, z1))) → c2(TOP(cons(active(z0), z1)), ACTIVE(cons(z0, z1)))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))

S tuples:

PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', TOP, PROPER, CONS, AND, ISNAT, ACTIVE, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST

Compound Symbols:

c, c1, c3, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c15, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c2

(25) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use narrowing to replace TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0)) by

TOP(mark(tt)) → c3(TOP(ok(tt)), PROPER(tt))
TOP(mark(nil)) → c3(TOP(ok(nil)), PROPER(nil))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)), PROPER(zeros))
TOP(mark(0)) → c3(TOP(ok(0)), PROPER(0))
TOP(mark(cons(z0, z1))) → c3(TOP(cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(cons(z0, z1)))

(26) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(cons(z0, z1))) → c2(TOP(cons(active(z0), z1)), ACTIVE(cons(z0, z1)))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(tt)) → c3(TOP(ok(tt)), PROPER(tt))
TOP(mark(nil)) → c3(TOP(ok(nil)), PROPER(nil))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)), PROPER(zeros))
TOP(mark(0)) → c3(TOP(ok(0)), PROPER(0))
TOP(mark(cons(z0, z1))) → c3(TOP(cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(cons(z0, z1)))

S tuples:

PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(mark(z0)) → c3(TOP(proper(z0)), PROPER(z0))
TOP(ok(z0)) → c2(TOP(active(z0)), ACTIVE(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', PROPER, CONS, AND, ISNAT, ACTIVE, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP

Compound Symbols:

c, c1, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c15, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c2, c3

(27) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 3 trailing nodes:

TOP(mark(nil)) → c3(TOP(ok(nil)), PROPER(nil))
TOP(mark(0)) → c3(TOP(ok(0)), PROPER(0))
TOP(mark(tt)) → c3(TOP(ok(tt)), PROPER(tt))

(28) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(cons(z0, z1))) → c2(TOP(cons(active(z0), z1)), ACTIVE(cons(z0, z1)))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)), PROPER(zeros))
TOP(mark(cons(z0, z1))) → c3(TOP(cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(cons(z0, z1)))

S tuples:

PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', PROPER, CONS, AND, ISNAT, ACTIVE, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP

Compound Symbols:

c, c1, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c15, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c2, c3

(29) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 1 trailing tuple parts

(30) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(cons(z0, z1))) → c2(TOP(cons(active(z0), z1)), ACTIVE(cons(z0, z1)))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(cons(z0, z1))) → c3(TOP(cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(cons(z0, z1)))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))

S tuples:

PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', PROPER, CONS, AND, ISNAT, ACTIVE, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP

Compound Symbols:

c, c1, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c15, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c2, c3, c3

(31) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use narrowing to replace PROPER(cons(z0, z1)) → c8(CONS(proper(z0), proper(z1)), PROPER(z0), PROPER(z1)) by

PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0), PROPER(tt))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0), PROPER(nil))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0), PROPER(zeros))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0), PROPER(0))
PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(x0), PROPER(cons(z0, z1)))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(tt), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(nil), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(zeros), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(0), PROPER(x1))
PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(x1))

(32) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(cons(z0, z1))) → c2(TOP(cons(active(z0), z1)), ACTIVE(cons(z0, z1)))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(cons(z0, z1))) → c3(TOP(cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(cons(z0, z1)))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0), PROPER(tt))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0), PROPER(nil))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0), PROPER(zeros))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0), PROPER(0))
PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(x0), PROPER(cons(z0, z1)))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(tt), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(nil), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(zeros), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(0), PROPER(x1))
PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(x1))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0), PROPER(tt))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0), PROPER(nil))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0), PROPER(zeros))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0), PROPER(0))
PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(x0), PROPER(cons(z0, z1)))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(tt), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(nil), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(zeros), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(0), PROPER(x1))
PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(x1))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, ACTIVE, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c15, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c2, c3, c3, c8

(33) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 8 trailing tuple parts

(34) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(cons(z0, z1))) → c2(TOP(cons(active(z0), z1)), ACTIVE(cons(z0, z1)))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(cons(z0, z1))) → c3(TOP(cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(cons(z0, z1)))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(x0), PROPER(cons(z0, z1)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(x0), PROPER(cons(z0, z1)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, ACTIVE, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c15, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c2, c3, c3, c8, c8

(35) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use narrowing to replace ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0)) by

ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1), ACTIVE(zeros))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))

(36) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(cons(z0, z1))) → c2(TOP(cons(active(z0), z1)), ACTIVE(cons(z0, z1)))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(cons(z0, z1))) → c3(TOP(cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(cons(z0, z1)))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(x0), PROPER(cons(z0, z1)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1), ACTIVE(zeros))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(x0), PROPER(cons(z0, z1)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c2, c3, c3, c8, c8, c15

(37) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 1 trailing tuple parts

(38) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(cons(z0, z1))) → c2(TOP(cons(active(z0), z1)), ACTIVE(cons(z0, z1)))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(cons(z0, z1))) → c3(TOP(cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(cons(z0, z1)))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(x0), PROPER(cons(z0, z1)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(x0), PROPER(cons(z0, z1)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c2, c3, c3, c8, c8, c15, c15

(39) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use narrowing to replace TOP(ok(cons(z0, z1))) → c2(TOP(cons(active(z0), z1)), ACTIVE(cons(z0, z1))) by

TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))

(40) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(cons(z0, z1))) → c3(TOP(cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(cons(z0, z1)))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(x0), PROPER(cons(z0, z1)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(x0), PROPER(cons(z0, z1)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c3, c8, c8, c15, c15, c2

(41) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use narrowing to replace TOP(mark(cons(z0, z1))) → c3(TOP(cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(cons(z0, z1))) by

TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))

(42) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(x0), PROPER(cons(z0, z1)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(x0), PROPER(cons(z0, z1)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c8, c8, c15, c15, c2, c3

(43) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use narrowing to replace PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(x0), PROPER(cons(z0, z1))) by

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(tt), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(nil), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(zeros), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(0), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))

(44) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(tt), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(nil), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(zeros), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(0), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(tt), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(nil), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(zeros), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(0), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c8, c8, c15, c15, c2, c3

(45) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 4 trailing tuple parts

(46) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c8, c8, c15, c15, c2, c3

(47) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use narrowing to replace PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(x1)) by

PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)), PROPER(tt))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)), PROPER(nil))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)), PROPER(0))
PROPER(cons(cons(x0, x1), cons(z0, z1))) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(cons(x0, x1)), PROPER(cons(z0, z1)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))

(48) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)), PROPER(tt))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)), PROPER(nil))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)), PROPER(0))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)), PROPER(tt))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)), PROPER(nil))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)), PROPER(0))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c8, c15, c15, c2, c3, c8

(49) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 4 trailing tuple parts

(50) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c8, c15, c15, c2, c3, c8

(51) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use narrowing to replace PROPER(cons(x0, tt)) → c8(CONS(proper(x0), ok(tt)), PROPER(x0)) by

PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)), PROPER(tt))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)), PROPER(nil))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)), PROPER(0))
PROPER(cons(cons(z0, z1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), ok(tt)), PROPER(cons(z0, z1)))

(52) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)), PROPER(tt))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)), PROPER(nil))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)), PROPER(0))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)), PROPER(tt))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)), PROPER(nil))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)), PROPER(0))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c8, c15, c15, c2, c3, c8

(53) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 4 trailing tuple parts

(54) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c8, c15, c15, c2, c3, c8, c8

(55) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use narrowing to replace PROPER(cons(x0, nil)) → c8(CONS(proper(x0), ok(nil)), PROPER(x0)) by

PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)), PROPER(tt))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)), PROPER(nil))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)), PROPER(0))
PROPER(cons(cons(z0, z1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), ok(nil)), PROPER(cons(z0, z1)))

(56) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)), PROPER(tt))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)), PROPER(nil))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)), PROPER(0))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)), PROPER(tt))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)), PROPER(nil))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)), PROPER(0))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c8, c15, c15, c2, c3, c8, c8

(57) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 4 trailing tuple parts

(58) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c8, c15, c15, c2, c3, c8, c8

(59) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use narrowing to replace PROPER(cons(x0, zeros)) → c8(CONS(proper(x0), ok(zeros)), PROPER(x0)) by

PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)), PROPER(tt))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)), PROPER(nil))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)), PROPER(0))
PROPER(cons(cons(z0, z1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), ok(zeros)), PROPER(cons(z0, z1)))

(60) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)), PROPER(tt))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)), PROPER(nil))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)), PROPER(0))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)), PROPER(tt))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)), PROPER(nil))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)), PROPER(0))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c8, c15, c15, c2, c3, c8, c8

(61) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 4 trailing tuple parts

(62) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c8, c15, c15, c2, c3, c8, c8

(63) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use narrowing to replace PROPER(cons(x0, 0)) → c8(CONS(proper(x0), ok(0)), PROPER(x0)) by

PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)), PROPER(tt))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)), PROPER(nil))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)), PROPER(0))
PROPER(cons(cons(z0, z1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), ok(0)), PROPER(cons(z0, z1)))

(64) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)), PROPER(tt))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)), PROPER(nil))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)), PROPER(0))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)), PROPER(tt))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)), PROPER(nil))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)), PROPER(0))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c8, c15, c15, c2, c3, c8, c8

(65) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 4 trailing tuple parts

(66) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c8, c15, c15, c2, c3, c8, c8

(67) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use narrowing to replace PROPER(cons(tt, x1)) → c8(CONS(ok(tt), proper(x1)), PROPER(x1)) by

PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)), PROPER(tt))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)), PROPER(nil))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)), PROPER(0))
PROPER(cons(tt, cons(z0, z1))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(cons(z0, z1)))

(68) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)), PROPER(tt))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)), PROPER(nil))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)), PROPER(0))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)), PROPER(tt))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)), PROPER(nil))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)), PROPER(0))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c8, c15, c15, c2, c3, c8, c8

(69) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 4 trailing tuple parts

(70) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c8, c15, c15, c2, c3, c8, c8

(71) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use narrowing to replace PROPER(cons(nil, x1)) → c8(CONS(ok(nil), proper(x1)), PROPER(x1)) by

PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)), PROPER(tt))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)), PROPER(nil))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)), PROPER(0))
PROPER(cons(nil, cons(z0, z1))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(cons(z0, z1)))

(72) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)), PROPER(tt))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)), PROPER(nil))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)), PROPER(0))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)), PROPER(tt))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)), PROPER(nil))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)), PROPER(0))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c8, c15, c15, c2, c3, c8, c8

(73) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 4 trailing tuple parts

(74) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c8, c15, c15, c2, c3, c8, c8

(75) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use narrowing to replace PROPER(cons(zeros, x1)) → c8(CONS(ok(zeros), proper(x1)), PROPER(x1)) by

PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)), PROPER(tt))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)), PROPER(nil))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)), PROPER(0))
PROPER(cons(zeros, cons(z0, z1))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(cons(z0, z1)))

(76) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)), PROPER(tt))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)), PROPER(nil))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)), PROPER(0))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)), PROPER(tt))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)), PROPER(nil))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)), PROPER(0))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c8, c15, c15, c2, c3, c8, c8

(77) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 4 trailing tuple parts

(78) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c8, c15, c15, c2, c3, c8, c8

(79) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use narrowing to replace PROPER(cons(0, x1)) → c8(CONS(ok(0), proper(x1)), PROPER(x1)) by

PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)), PROPER(tt))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)), PROPER(nil))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)), PROPER(0))
PROPER(cons(0, cons(z0, z1))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(z0), proper(z1))), PROPER(cons(z0, z1)))

(80) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)), PROPER(tt))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)), PROPER(nil))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)), PROPER(0))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)), PROPER(tt))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)), PROPER(nil))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)), PROPER(zeros))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)), PROPER(0))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, ACTIVE, PROPER

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c15, c15, c2, c3, c8, c8, c8

(81) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 4 trailing tuple parts

(82) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, ACTIVE, PROPER

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c15, c15, c2, c3, c8, c8, c8

(83) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use narrowing to replace ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)) → c15(CONS(cons(active(z0), z1), x1), ACTIVE(cons(z0, z1))) by

ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c15(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))

(84) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c15(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, ACTIVE, PROPER

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c15, c2, c3, c8, c8, c8, c15

(85) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Split RHS of tuples not part of any SCC

(86) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(ACTIVE(cons(zeros, x1)))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, ACTIVE, PROPER

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c15, c2, c3, c8, c8, c8, c15, c4

(87) CdtRewritingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Used rewriting to replace TOP(ok(cons(zeros, x1))) → c2(TOP(cons(mark(cons(0, zeros)), x1)), ACTIVE(cons(zeros, x1))) by TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))), ACTIVE(cons(zeros, z0)))

(88) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))), ACTIVE(cons(zeros, z0)))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, ACTIVE, PROPER

Compound Symbols:

c, c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c15, c2, c3, c8, c8, c8, c15, c4

(89) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace U11'(ok(z0), ok(z1)) → c(U11'(z0, z1)) by

U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))

(90) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))), ACTIVE(cons(zeros, z0)))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, ACTIVE, PROPER

Compound Symbols:

c1, c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c15, c2, c3, c8, c8, c8, c15, c4, c

(91) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace U11'(mark(z0), z1) → c1(U11'(z0, z1)) by

U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))

(92) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))), ACTIVE(cons(zeros, z0)))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))

S tuples:

CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1))
CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, ACTIVE, PROPER, U11'

Compound Symbols:

c9, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c15, c2, c3, c8, c8, c8, c15, c4, c, c1

(93) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace CONS(ok(z0), ok(z1)) → c9(CONS(z0, z1)) by

CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))

(94) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))), ACTIVE(cons(zeros, z0)))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))

S tuples:

CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(tt), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(nil), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(zeros), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(CONS(ok(0), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8(CONS(ok(tt), ok(tt)))
PROPER(cons(nil, tt)) → c8(CONS(ok(nil), ok(tt)))
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(tt)))
PROPER(cons(0, tt)) → c8(CONS(ok(0), ok(tt)))
PROPER(cons(tt, nil)) → c8(CONS(ok(tt), ok(nil)))
PROPER(cons(nil, nil)) → c8(CONS(ok(nil), ok(nil)))
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(nil)))
PROPER(cons(0, nil)) → c8(CONS(ok(0), ok(nil)))
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8(CONS(ok(tt), ok(zeros)))
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8(CONS(ok(nil), ok(zeros)))
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(zeros)))
PROPER(cons(0, zeros)) → c8(CONS(ok(0), ok(zeros)))
PROPER(cons(tt, 0)) → c8(CONS(ok(tt), ok(0)))
PROPER(cons(nil, 0)) → c8(CONS(ok(nil), ok(0)))
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8(CONS(ok(zeros), ok(0)))
PROPER(cons(0, 0)) → c8(CONS(ok(0), ok(0)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, ACTIVE, PROPER, U11'

Compound Symbols:

c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c15, c2, c3, c8, c8, c8, c15, c4, c, c1, c9

(95) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 40 trailing tuple parts

(96) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))), ACTIVE(cons(zeros, z0)))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8

S tuples:

CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, ACTIVE, PROPER, U11'

Compound Symbols:

c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c15, c2, c3, c8, c8, c15, c4, c, c1, c9, c8, c8

(97) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace CONS(mark(z0), z1) → c10(CONS(z0, z1)) by

CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

(98) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(ACTIVE(cons(zeros, x1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))), ACTIVE(cons(zeros, z0)))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
ACTIVE(cons(z0, z1)) → c15(CONS(active(z0), z1), ACTIVE(z0))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, ACTIVE, PROPER, U11', CONS

Compound Symbols:

c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c15, c2, c3, c8, c8, c15, c4, c, c1, c9, c8, c8, c10

(99) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 2 trailing nodes:

ACTIVE(cons(zeros, x1)) → c15(CONS(mark(cons(0, zeros)), x1))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(ACTIVE(cons(zeros, x1)))

(100) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))), ACTIVE(cons(zeros, z0)))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE, U11', CONS

Compound Symbols:

c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c4, c, c1, c9, c8, c8, c10

(101) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 1 trailing tuple parts

(102) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

K tuples:

AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1))
AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE, U11', CONS

Compound Symbols:

c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c4, c, c1, c9, c8, c8, c10

(103) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace AND(mark(z0), z1) → c11(AND(z0, z1)) by

AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))

(104) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

K tuples:

AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1))
ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE, U11', CONS

Compound Symbols:

c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c4, c, c1, c9, c8, c8, c10, c11

(105) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace AND(ok(z0), ok(z1)) → c12(AND(z0, z1)) by

AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))

(106) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

K tuples:

ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0))
S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE, U11', CONS, AND

Compound Symbols:

c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c4, c, c1, c9, c8, c8, c10, c11, c12

(107) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace ISNAT(ok(z0)) → c13(ISNAT(z0)) by

ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))

(108) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

K tuples:

S(ok(z0)) → c16(S(z0))
S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE, U11', CONS, AND, ISNAT

Compound Symbols:

c16, c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c4, c, c1, c9, c8, c8, c10, c11, c12, c13

(109) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace S(ok(z0)) → c16(S(z0)) by

S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))

(110) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

K tuples:

S(mark(z0)) → c17(S(z0))
LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE, U11', CONS, AND, ISNAT

Compound Symbols:

c17, c18, c19, c20, c21, c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c4, c, c1, c9, c8, c8, c10, c11, c12, c13, c16

(111) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace S(mark(z0)) → c17(S(z0)) by

S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))

(112) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

K tuples:

LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0))
LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE, U11', CONS, AND, ISNAT, S

Compound Symbols:

c18, c19, c20, c21, c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c4, c, c1, c9, c8, c8, c10, c11, c12, c13, c16, c17

(113) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace LENGTH(mark(z0)) → c18(LENGTH(z0)) by

LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))

(114) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

K tuples:

LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0))
ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE, U11', CONS, AND, ISNAT, S

Compound Symbols:

c19, c20, c21, c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c4, c, c1, c9, c8, c8, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18

(115) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace LENGTH(ok(z0)) → c19(LENGTH(z0)) by

LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))

(116) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

K tuples:

ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0))
ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

ISNATLIST, ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE, U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH

Compound Symbols:

c20, c21, c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c4, c, c1, c9, c8, c8, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19

(117) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace ISNATLIST(ok(z0)) → c20(ISNATLIST(z0)) by

ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))

(118) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

K tuples:

ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

ISNATILIST, TOP, PROPER, ACTIVE, U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST

Compound Symbols:

c21, c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c4, c, c1, c9, c8, c8, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20

(119) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace ISNATILIST(ok(z0)) → c21(ISNATILIST(z0)) by

ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))

(120) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

K tuples:

U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

TOP, PROPER, ACTIVE, U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST

Compound Symbols:

c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c4, c, c1, c9, c8, c8, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21

(121) CdtRewritingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Used rewriting to replace ACTIVE(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c4(CONS(cons(mark(cons(0, zeros)), x1), x2)) by ACTIVE(cons(cons(zeros, z0), z1)) → c4(CONS(mark(cons(cons(0, zeros), z0)), z1))

(122) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
ACTIVE(cons(cons(zeros, z0), z1)) → c4(CONS(mark(cons(cons(0, zeros), z0)), z1))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

K tuples:

U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

TOP, PROPER, ACTIVE, U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST

Compound Symbols:

c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c, c1, c9, c8, c8, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c4

(123) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Removed 1 trailing nodes:

ACTIVE(cons(cons(zeros, z0), z1)) → c4(CONS(mark(cons(cons(0, zeros), z0)), z1))

(124) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

K tuples:

U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

TOP, PROPER, ACTIVE, U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST

Compound Symbols:

c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c, c1, c9, c8, c8, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21

(125) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c(U11'(ok(y0), ok(y1))) by

U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))

(126) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

K tuples:

U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

TOP, PROPER, ACTIVE, U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST

Compound Symbols:

c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c, c1, c9, c8, c8, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21

(127) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c(U11'(mark(y0), z1)) by

U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))

(128) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))
U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

K tuples:

U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))
U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

TOP, PROPER, ACTIVE, U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST

Compound Symbols:

c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c1, c9, c8, c8, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c

(129) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace U11'(mark(mark(y0)), z1) → c1(U11'(mark(y0), z1)) by

U11'(mark(mark(mark(y0))), z1) → c1(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(mark(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(mark(mark(ok(mark(y0)))), ok(y1)) → c1(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))

(130) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))
U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(mark(mark(y0))), z1) → c1(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(mark(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(mark(mark(ok(mark(y0)))), ok(y1)) → c1(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

K tuples:

U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))
U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(mark(mark(y0))), z1) → c1(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(mark(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(mark(mark(ok(mark(y0)))), ok(y1)) → c1(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

TOP, PROPER, ACTIVE, U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST

Compound Symbols:

c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c1, c9, c8, c8, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c

(131) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1)))) by

U11'(mark(ok(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(ok(mark(y0)))), ok(ok(z1))) → c1(U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))))

(132) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))
U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(mark(mark(y0))), z1) → c1(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(mark(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(mark(mark(ok(mark(y0)))), ok(y1)) → c1(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(ok(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(ok(mark(y0)))), ok(ok(z1))) → c1(U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

K tuples:

U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1)))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))
U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(mark(mark(y0))), z1) → c1(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(mark(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(mark(mark(ok(mark(y0)))), ok(y1)) → c1(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(ok(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(ok(mark(y0)))), ok(ok(z1))) → c1(U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

TOP, PROPER, ACTIVE, U11', CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST

Compound Symbols:

c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c1, c9, c8, c8, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c

(133) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c1(U11'(ok(mark(y0)), ok(y1))) by

U11'(mark(ok(mark(mark(y0)))), ok(z1)) → c1(U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)))
U11'(mark(ok(mark(ok(ok(y0))))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(mark(ok(mark(y0))))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))))

(134) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))
U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(mark(mark(y0))), z1) → c1(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(mark(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(mark(mark(ok(mark(y0)))), ok(y1)) → c1(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(ok(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(ok(mark(y0)))), ok(ok(z1))) → c1(U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))))
U11'(mark(ok(mark(mark(y0)))), ok(z1)) → c1(U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)))
U11'(mark(ok(mark(ok(ok(y0))))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(mark(ok(mark(y0))))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))

K tuples:

AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))
U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(mark(mark(y0))), z1) → c1(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(mark(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(mark(mark(ok(mark(y0)))), ok(y1)) → c1(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(ok(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(ok(mark(y0)))), ok(ok(z1))) → c1(U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))))
U11'(mark(ok(mark(mark(y0)))), ok(z1)) → c1(U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)))
U11'(mark(ok(mark(ok(ok(y0))))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(mark(ok(mark(y0))))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

TOP, PROPER, ACTIVE, CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, U11'

Compound Symbols:

c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c9, c8, c8, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c, c1

(135) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c9(CONS(ok(y0), ok(y1))) by

CONS(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c9(CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)))

(136) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))
U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(mark(mark(y0))), z1) → c1(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(mark(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(mark(mark(ok(mark(y0)))), ok(y1)) → c1(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(ok(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(ok(mark(y0)))), ok(ok(z1))) → c1(U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))))
U11'(mark(ok(mark(mark(y0)))), ok(z1)) → c1(U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)))
U11'(mark(ok(mark(ok(ok(y0))))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(mark(ok(mark(y0))))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))))
CONS(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c9(CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c9(CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)))

K tuples:

AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))
U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(mark(mark(y0))), z1) → c1(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(mark(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(mark(mark(ok(mark(y0)))), ok(y1)) → c1(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(ok(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(ok(mark(y0)))), ok(ok(z1))) → c1(U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))))
U11'(mark(ok(mark(mark(y0)))), ok(z1)) → c1(U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)))
U11'(mark(ok(mark(ok(ok(y0))))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(mark(ok(mark(y0))))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

TOP, PROPER, ACTIVE, CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, U11'

Compound Symbols:

c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c9, c8, c8, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c, c1

(137) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)) → c9(CONS(mark(y0), z1)) by

CONS(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c9(CONS(mark(mark(y0)), z1))
CONS(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
CONS(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c9(CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))

(138) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))
U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(mark(mark(y0))), z1) → c1(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(mark(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(mark(mark(ok(mark(y0)))), ok(y1)) → c1(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(ok(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(ok(mark(y0)))), ok(ok(z1))) → c1(U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))))
U11'(mark(ok(mark(mark(y0)))), ok(z1)) → c1(U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)))
U11'(mark(ok(mark(ok(ok(y0))))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(mark(ok(mark(y0))))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))))
CONS(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c9(CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)))
CONS(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c9(CONS(mark(mark(y0)), z1))
CONS(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
CONS(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c9(CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c9(CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)))
CONS(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c9(CONS(mark(mark(y0)), z1))
CONS(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
CONS(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c9(CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))

K tuples:

AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))
U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(mark(mark(y0))), z1) → c1(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(mark(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(mark(mark(ok(mark(y0)))), ok(y1)) → c1(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(ok(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(ok(mark(y0)))), ok(ok(z1))) → c1(U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))))
U11'(mark(ok(mark(mark(y0)))), ok(z1)) → c1(U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)))
U11'(mark(ok(mark(ok(ok(y0))))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(mark(ok(mark(y0))))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

TOP, PROPER, ACTIVE, CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, U11'

Compound Symbols:

c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c8, c8, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c, c1, c9

(139) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2))) by

PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, tt)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, tt))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, nil)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, nil))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, zeros)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, zeros))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, 0)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, 0))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3))))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3)))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(tt, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(tt, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(nil, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(nil, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(zeros, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(zeros, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(0, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3))))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, tt), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, tt), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, nil), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, nil), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, zeros), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, zeros), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, 0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, 0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(tt, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(tt, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(nil, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(nil, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(zeros, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(zeros, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(0, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(0, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), tt)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), nil)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), 0)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(zeros, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(0, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(0, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(tt, tt))) → c8(PROPER(cons(tt, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, tt))) → c8(PROPER(cons(nil, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, tt))) → c8(PROPER(cons(zeros, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(0, tt))) → c8(PROPER(cons(0, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, nil))) → c8(PROPER(cons(tt, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, nil))) → c8(PROPER(cons(nil, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, nil))) → c8(PROPER(cons(zeros, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(0, nil))) → c8(PROPER(cons(0, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, zeros))) → c8(PROPER(cons(tt, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, zeros))) → c8(PROPER(cons(nil, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, zeros))) → c8(PROPER(cons(zeros, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(0, zeros))) → c8(PROPER(cons(0, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, 0))) → c8(PROPER(cons(tt, 0)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, 0))) → c8(PROPER(cons(nil, 0)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, 0))) → c8(PROPER(cons(zeros, 0)))
PROPER(cons(tt, cons(0, 0))) → c8(PROPER(cons(0, 0)))

(140) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))
U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(mark(mark(y0))), z1) → c1(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(mark(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(mark(mark(ok(mark(y0)))), ok(y1)) → c1(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(ok(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(ok(mark(y0)))), ok(ok(z1))) → c1(U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))))
U11'(mark(ok(mark(mark(y0)))), ok(z1)) → c1(U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)))
U11'(mark(ok(mark(ok(ok(y0))))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(mark(ok(mark(y0))))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))))
CONS(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c9(CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)))
CONS(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c9(CONS(mark(mark(y0)), z1))
CONS(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
CONS(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c9(CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, tt)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, tt))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, nil)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, nil))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, zeros)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, zeros))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, 0)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, 0))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3))))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3)))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(tt, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(tt, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(nil, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(nil, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(zeros, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(zeros, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(0, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3))))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, tt), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, tt), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, nil), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, nil), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, zeros), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, zeros), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, 0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, 0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(tt, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(tt, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(nil, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(nil, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(zeros, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(zeros, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(0, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(0, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), tt)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), nil)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), 0)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(zeros, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(0, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(0, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(tt, tt))) → c8(PROPER(cons(tt, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, tt))) → c8(PROPER(cons(nil, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, tt))) → c8(PROPER(cons(zeros, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(0, tt))) → c8(PROPER(cons(0, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, nil))) → c8(PROPER(cons(tt, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, nil))) → c8(PROPER(cons(nil, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, nil))) → c8(PROPER(cons(zeros, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(0, nil))) → c8(PROPER(cons(0, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, zeros))) → c8(PROPER(cons(tt, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, zeros))) → c8(PROPER(cons(nil, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, zeros))) → c8(PROPER(cons(zeros, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(0, zeros))) → c8(PROPER(cons(0, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, 0))) → c8(PROPER(cons(tt, 0)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, 0))) → c8(PROPER(cons(nil, 0)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, 0))) → c8(PROPER(cons(zeros, 0)))
PROPER(cons(tt, cons(0, 0))) → c8(PROPER(cons(0, 0)))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c9(CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)))
CONS(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c9(CONS(mark(mark(y0)), z1))
CONS(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
CONS(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c9(CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, tt)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, tt))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, nil)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, nil))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, zeros)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, zeros))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, 0)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, 0))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3))))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3)))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(tt, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(tt, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(nil, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(nil, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(zeros, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(zeros, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(0, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3))))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, tt), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, tt), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, nil), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, nil), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, zeros), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, zeros), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, 0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, 0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(tt, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(tt, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(nil, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(nil, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(zeros, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(zeros, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(0, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(0, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), tt)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), nil)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), 0)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(zeros, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(0, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(0, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(tt, tt))) → c8(PROPER(cons(tt, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, tt))) → c8(PROPER(cons(nil, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, tt))) → c8(PROPER(cons(zeros, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(0, tt))) → c8(PROPER(cons(0, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, nil))) → c8(PROPER(cons(tt, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, nil))) → c8(PROPER(cons(nil, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, nil))) → c8(PROPER(cons(zeros, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(0, nil))) → c8(PROPER(cons(0, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, zeros))) → c8(PROPER(cons(tt, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, zeros))) → c8(PROPER(cons(nil, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, zeros))) → c8(PROPER(cons(zeros, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(0, zeros))) → c8(PROPER(cons(0, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, 0))) → c8(PROPER(cons(tt, 0)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, 0))) → c8(PROPER(cons(nil, 0)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, 0))) → c8(PROPER(cons(zeros, 0)))
PROPER(cons(tt, cons(0, 0))) → c8(PROPER(cons(0, 0)))

K tuples:

AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))
U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(mark(mark(y0))), z1) → c1(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(mark(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(mark(mark(ok(mark(y0)))), ok(y1)) → c1(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(ok(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(ok(mark(y0)))), ok(ok(z1))) → c1(U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))))
U11'(mark(ok(mark(mark(y0)))), ok(z1)) → c1(U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)))
U11'(mark(ok(mark(ok(ok(y0))))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(mark(ok(mark(y0))))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

TOP, PROPER, ACTIVE, CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, U11'

Compound Symbols:

c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c8, c8, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c, c1, c9

(141) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2))) by

PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(y1, tt)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, tt))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(y1, nil)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, nil))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(y1, zeros)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, zeros))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(y1, 0)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, 0))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3))))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3)))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(tt, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(tt, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(nil, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(nil, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(zeros, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(zeros, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(0, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(0, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3))))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, tt), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, tt), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, nil), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, nil), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, zeros), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, zeros), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, 0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, 0), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(tt, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(tt, y0), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(nil, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(nil, y0), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(zeros, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(zeros, y0), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(0, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(0, y0), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), tt))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), tt)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), nil))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), nil)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), zeros))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), zeros)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), 0))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), 0)))
PROPER(cons(nil, cons(nil, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(zeros, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(zeros, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(0, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(0, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, tt))) → c8(PROPER(cons(tt, tt)))
PROPER(cons(nil, cons(nil, tt))) → c8(PROPER(cons(nil, tt)))
PROPER(cons(nil, cons(zeros, tt))) → c8(PROPER(cons(zeros, tt)))
PROPER(cons(nil, cons(0, tt))) → c8(PROPER(cons(0, tt)))
PROPER(cons(nil, cons(tt, nil))) → c8(PROPER(cons(tt, nil)))
PROPER(cons(nil, cons(nil, nil))) → c8(PROPER(cons(nil, nil)))
PROPER(cons(nil, cons(zeros, nil))) → c8(PROPER(cons(zeros, nil)))
PROPER(cons(nil, cons(0, nil))) → c8(PROPER(cons(0, nil)))
PROPER(cons(nil, cons(tt, zeros))) → c8(PROPER(cons(tt, zeros)))
PROPER(cons(nil, cons(nil, zeros))) → c8(PROPER(cons(nil, zeros)))
PROPER(cons(nil, cons(zeros, zeros))) → c8(PROPER(cons(zeros, zeros)))
PROPER(cons(nil, cons(0, zeros))) → c8(PROPER(cons(0, zeros)))
PROPER(cons(nil, cons(tt, 0))) → c8(PROPER(cons(tt, 0)))
PROPER(cons(nil, cons(nil, 0))) → c8(PROPER(cons(nil, 0)))
PROPER(cons(nil, cons(zeros, 0))) → c8(PROPER(cons(zeros, 0)))
PROPER(cons(nil, cons(0, 0))) → c8(PROPER(cons(0, 0)))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, tt))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, tt)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, nil))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, nil)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, zeros))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, zeros)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, 0))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, 0)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, cons(y2, y3)))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, cons(y2, y3))))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(tt, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(tt, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(nil, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(nil, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(zeros, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(zeros, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(0, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(cons(y1, y2), y3))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(cons(y1, y2), y3)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, tt), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, tt), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, nil), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, nil), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, zeros), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, zeros), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, 0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, 0), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), y3)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), y3))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(tt, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(tt, y0), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(nil, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(nil, y0), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(zeros, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(zeros, y0), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(0, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(0, y0), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, tt))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, tt))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, tt))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, tt))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, nil))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, nil))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, nil))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, nil))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, zeros))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, zeros))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, zeros))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, zeros))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, 0))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, 0))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, 0))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, 0))))

(142) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))
U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(mark(mark(y0))), z1) → c1(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(mark(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(mark(mark(ok(mark(y0)))), ok(y1)) → c1(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(ok(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(ok(mark(y0)))), ok(ok(z1))) → c1(U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))))
U11'(mark(ok(mark(mark(y0)))), ok(z1)) → c1(U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)))
U11'(mark(ok(mark(ok(ok(y0))))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(mark(ok(mark(y0))))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))))
CONS(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c9(CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)))
CONS(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c9(CONS(mark(mark(y0)), z1))
CONS(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
CONS(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c9(CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, tt)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, tt))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, nil)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, nil))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, zeros)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, zeros))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, 0)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, 0))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3))))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3)))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(tt, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(tt, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(nil, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(nil, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(zeros, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(zeros, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(0, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3))))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, tt), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, tt), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, nil), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, nil), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, zeros), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, zeros), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, 0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, 0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(tt, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(tt, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(nil, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(nil, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(zeros, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(zeros, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(0, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(0, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), tt)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), nil)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), 0)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(zeros, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(0, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(0, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(tt, tt))) → c8(PROPER(cons(tt, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, tt))) → c8(PROPER(cons(nil, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, tt))) → c8(PROPER(cons(zeros, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(0, tt))) → c8(PROPER(cons(0, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, nil))) → c8(PROPER(cons(tt, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, nil))) → c8(PROPER(cons(nil, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, nil))) → c8(PROPER(cons(zeros, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(0, nil))) → c8(PROPER(cons(0, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, zeros))) → c8(PROPER(cons(tt, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, zeros))) → c8(PROPER(cons(nil, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, zeros))) → c8(PROPER(cons(zeros, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(0, zeros))) → c8(PROPER(cons(0, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, 0))) → c8(PROPER(cons(tt, 0)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, 0))) → c8(PROPER(cons(nil, 0)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, 0))) → c8(PROPER(cons(zeros, 0)))
PROPER(cons(tt, cons(0, 0))) → c8(PROPER(cons(0, 0)))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(y1, tt)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, tt))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(y1, nil)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, nil))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(y1, zeros)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, zeros))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(y1, 0)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, 0))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3))))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3)))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(tt, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(tt, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(nil, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(nil, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(zeros, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(zeros, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(0, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(0, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3))))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, tt), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, tt), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, nil), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, nil), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, zeros), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, zeros), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, 0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, 0), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(tt, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(tt, y0), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(nil, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(nil, y0), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(zeros, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(zeros, y0), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(0, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(0, y0), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), tt))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), tt)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), nil))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), nil)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), zeros))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), zeros)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), 0))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), 0)))
PROPER(cons(nil, cons(nil, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(zeros, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(zeros, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(0, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(0, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, tt))) → c8(PROPER(cons(tt, tt)))
PROPER(cons(nil, cons(nil, tt))) → c8(PROPER(cons(nil, tt)))
PROPER(cons(nil, cons(zeros, tt))) → c8(PROPER(cons(zeros, tt)))
PROPER(cons(nil, cons(0, tt))) → c8(PROPER(cons(0, tt)))
PROPER(cons(nil, cons(tt, nil))) → c8(PROPER(cons(tt, nil)))
PROPER(cons(nil, cons(nil, nil))) → c8(PROPER(cons(nil, nil)))
PROPER(cons(nil, cons(zeros, nil))) → c8(PROPER(cons(zeros, nil)))
PROPER(cons(nil, cons(0, nil))) → c8(PROPER(cons(0, nil)))
PROPER(cons(nil, cons(tt, zeros))) → c8(PROPER(cons(tt, zeros)))
PROPER(cons(nil, cons(nil, zeros))) → c8(PROPER(cons(nil, zeros)))
PROPER(cons(nil, cons(zeros, zeros))) → c8(PROPER(cons(zeros, zeros)))
PROPER(cons(nil, cons(0, zeros))) → c8(PROPER(cons(0, zeros)))
PROPER(cons(nil, cons(tt, 0))) → c8(PROPER(cons(tt, 0)))
PROPER(cons(nil, cons(nil, 0))) → c8(PROPER(cons(nil, 0)))
PROPER(cons(nil, cons(zeros, 0))) → c8(PROPER(cons(zeros, 0)))
PROPER(cons(nil, cons(0, 0))) → c8(PROPER(cons(0, 0)))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, tt))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, tt)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, nil))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, nil)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, zeros))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, zeros)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, 0))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, 0)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, cons(y2, y3)))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, cons(y2, y3))))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(tt, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(tt, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(nil, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(nil, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(zeros, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(zeros, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(0, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(cons(y1, y2), y3))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(cons(y1, y2), y3)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, tt), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, tt), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, nil), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, nil), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, zeros), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, zeros), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, 0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, 0), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), y3)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), y3))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(tt, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(tt, y0), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(nil, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(nil, y0), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(zeros, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(zeros, y0), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(0, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(0, y0), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, tt))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, tt))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, tt))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, tt))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, nil))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, nil))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, nil))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, nil))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, zeros))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, zeros))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, zeros))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, zeros))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, 0))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, 0))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, 0))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, 0))))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c9(CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)))
CONS(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c9(CONS(mark(mark(y0)), z1))
CONS(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
CONS(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c9(CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, tt)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, tt))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, nil)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, nil))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, zeros)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, zeros))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, 0)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, 0))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3))))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3)))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(tt, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(tt, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(nil, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(nil, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(zeros, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(zeros, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(0, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3))))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, tt), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, tt), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, nil), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, nil), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, zeros), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, zeros), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, 0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, 0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(tt, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(tt, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(nil, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(nil, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(zeros, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(zeros, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(0, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(0, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), tt)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), nil)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), 0)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(zeros, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(0, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(0, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(tt, tt))) → c8(PROPER(cons(tt, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, tt))) → c8(PROPER(cons(nil, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, tt))) → c8(PROPER(cons(zeros, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(0, tt))) → c8(PROPER(cons(0, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, nil))) → c8(PROPER(cons(tt, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, nil))) → c8(PROPER(cons(nil, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, nil))) → c8(PROPER(cons(zeros, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(0, nil))) → c8(PROPER(cons(0, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, zeros))) → c8(PROPER(cons(tt, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, zeros))) → c8(PROPER(cons(nil, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, zeros))) → c8(PROPER(cons(zeros, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(0, zeros))) → c8(PROPER(cons(0, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, 0))) → c8(PROPER(cons(tt, 0)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, 0))) → c8(PROPER(cons(nil, 0)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, 0))) → c8(PROPER(cons(zeros, 0)))
PROPER(cons(tt, cons(0, 0))) → c8(PROPER(cons(0, 0)))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(y1, tt)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, tt))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(y1, nil)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, nil))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(y1, zeros)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, zeros))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(y1, 0)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, 0))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3))))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3)))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(tt, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(tt, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(nil, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(nil, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(zeros, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(zeros, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(0, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(0, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3))))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, tt), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, tt), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, nil), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, nil), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, zeros), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, zeros), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, 0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, 0), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(tt, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(tt, y0), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(nil, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(nil, y0), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(zeros, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(zeros, y0), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(0, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(0, y0), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), tt))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), tt)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), nil))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), nil)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), zeros))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), zeros)))
PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), 0))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), 0)))
PROPER(cons(nil, cons(nil, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(zeros, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(zeros, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(0, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(0, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, tt))) → c8(PROPER(cons(tt, tt)))
PROPER(cons(nil, cons(nil, tt))) → c8(PROPER(cons(nil, tt)))
PROPER(cons(nil, cons(zeros, tt))) → c8(PROPER(cons(zeros, tt)))
PROPER(cons(nil, cons(0, tt))) → c8(PROPER(cons(0, tt)))
PROPER(cons(nil, cons(tt, nil))) → c8(PROPER(cons(tt, nil)))
PROPER(cons(nil, cons(nil, nil))) → c8(PROPER(cons(nil, nil)))
PROPER(cons(nil, cons(zeros, nil))) → c8(PROPER(cons(zeros, nil)))
PROPER(cons(nil, cons(0, nil))) → c8(PROPER(cons(0, nil)))
PROPER(cons(nil, cons(tt, zeros))) → c8(PROPER(cons(tt, zeros)))
PROPER(cons(nil, cons(nil, zeros))) → c8(PROPER(cons(nil, zeros)))
PROPER(cons(nil, cons(zeros, zeros))) → c8(PROPER(cons(zeros, zeros)))
PROPER(cons(nil, cons(0, zeros))) → c8(PROPER(cons(0, zeros)))
PROPER(cons(nil, cons(tt, 0))) → c8(PROPER(cons(tt, 0)))
PROPER(cons(nil, cons(nil, 0))) → c8(PROPER(cons(nil, 0)))
PROPER(cons(nil, cons(zeros, 0))) → c8(PROPER(cons(zeros, 0)))
PROPER(cons(nil, cons(0, 0))) → c8(PROPER(cons(0, 0)))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, tt))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, tt)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, nil))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, nil)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, zeros))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, zeros)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, 0))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, 0)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, cons(y2, y3)))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, cons(y2, y3))))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(tt, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(tt, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(nil, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(nil, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(zeros, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(zeros, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(0, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(cons(y1, y2), y3))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(cons(y1, y2), y3)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, tt), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, tt), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, nil), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, nil), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, zeros), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, zeros), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, 0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, 0), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), y3)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), y3))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(tt, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(tt, y0), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(nil, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(nil, y0), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(zeros, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(zeros, y0), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(0, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(0, y0), y1))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, tt))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, tt))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, tt))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, tt))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, nil))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, nil))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, nil))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, nil))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, zeros))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, zeros))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, zeros))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, zeros))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, 0))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, 0))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, 0))))
PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, 0))))

K tuples:

AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))
U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(mark(mark(y0))), z1) → c1(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(mark(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(mark(mark(ok(mark(y0)))), ok(y1)) → c1(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(ok(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(ok(mark(y0)))), ok(ok(z1))) → c1(U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))))
U11'(mark(ok(mark(mark(y0)))), ok(z1)) → c1(U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)))
U11'(mark(ok(mark(ok(ok(y0))))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(mark(ok(mark(y0))))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

TOP, PROPER, ACTIVE, CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, U11'

Compound Symbols:

c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c8, c8, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c, c1, c9

(143) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Use forward instantiation to replace PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2))) by

PROPER(cons(zeros, cons(z0, cons(y1, tt)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(z0, cons(y1, nil)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(z0, cons(y1, zeros)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(z0, cons(y1, 0)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3))))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3)))))
PROPER(cons(zeros, cons(z0, cons(tt, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(tt, y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(z0, cons(nil, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(nil, y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(z0, cons(zeros, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(zeros, y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(z0, cons(0, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(0, y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3))))
PROPER(cons(zeros, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))
PROPER(cons(zeros, cons(cons(y0, tt), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, tt), z1)))
PROPER(cons(zeros, cons(cons(y0, nil), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, nil), z1)))
PROPER(cons(zeros, cons(cons(y0, zeros), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, zeros), z1)))
PROPER(cons(zeros, cons(cons(y0, 0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, 0), z1)))
PROPER(cons(zeros, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1)))
PROPER(cons(zeros, cons(cons(tt, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(tt, y0), z1)))
PROPER(cons(zeros, cons(cons(nil, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(nil, y0), z1)))
PROPER(cons(zeros, cons(cons(zeros, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(zeros, y0), z1)))
PROPER(cons(zeros, cons(cons(0, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(0, y0), z1)))
PROPER(cons(zeros, cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1)))
PROPER(cons(zeros, cons(cons(y0, y1), tt))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), tt)))
PROPER(cons(zeros, cons(cons(y0, y1), nil))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), nil)))
PROPER(cons(zeros, cons(cons(y0, y1), zeros))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), zeros)))
PROPER(cons(zeros, cons(cons(y0, y1), 0))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), 0)))
PROPER(cons(zeros, cons(zeros, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(zeros, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(0, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(0, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, tt))) → c8(PROPER(cons(tt, tt)))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, tt))) → c8(PROPER(cons(nil, tt)))
PROPER(cons(zeros, cons(zeros, tt))) → c8(PROPER(cons(zeros, tt)))
PROPER(cons(zeros, cons(0, tt))) → c8(PROPER(cons(0, tt)))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, nil))) → c8(PROPER(cons(tt, nil)))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, nil))) → c8(PROPER(cons(nil, nil)))
PROPER(cons(zeros, cons(zeros, nil))) → c8(PROPER(cons(zeros, nil)))
PROPER(cons(zeros, cons(0, nil))) → c8(PROPER(cons(0, nil)))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, zeros))) → c8(PROPER(cons(tt, zeros)))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, zeros))) → c8(PROPER(cons(nil, zeros)))
PROPER(cons(zeros, cons(zeros, zeros))) → c8(PROPER(cons(zeros, zeros)))
PROPER(cons(zeros, cons(0, zeros))) → c8(PROPER(cons(0, zeros)))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, 0))) → c8(PROPER(cons(tt, 0)))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, 0))) → c8(PROPER(cons(nil, 0)))
PROPER(cons(zeros, cons(zeros, 0))) → c8(PROPER(cons(zeros, 0)))
PROPER(cons(zeros, cons(0, 0))) → c8(PROPER(cons(0, 0)))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(y0, cons(y1, tt))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, tt)))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(y0, cons(y1, nil))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, nil)))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(y0, cons(y1, zeros))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, zeros)))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(y0, cons(y1, 0))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, 0)))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(y0, cons(y1, cons(y2, y3)))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(y1, cons(y2, y3))))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(y0, cons(tt, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(tt, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(y0, cons(nil, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(nil, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(y0, cons(zeros, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(zeros, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(y0, cons(0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(0, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(y0, cons(cons(y1, y2), y3))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, cons(cons(y1, y2), y3)))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(cons(y0, tt), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, tt), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(cons(y0, nil), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, nil), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(cons(y0, zeros), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, zeros), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(cons(y0, 0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, 0), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), y3)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), y3))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(cons(tt, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(tt, y0), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(cons(nil, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(nil, y0), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(cons(zeros, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(zeros, y0), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(cons(0, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(0, y0), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(0, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(tt, tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(nil, tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(zeros, tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(0, tt)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(tt, nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(nil, nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(zeros, nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(0, nil)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(tt, zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(nil, zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(zeros, zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(0, zeros)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(tt, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(nil, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(zeros, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(0, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(y1, tt))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(y1, tt)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(y1, nil))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(y1, nil)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(y1, zeros))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(y1, zeros)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(y1, 0))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(y1, 0)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(y1, cons(y2, y3)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(y1, cons(y2, y3))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(tt, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(tt, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(nil, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(nil, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(zeros, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(zeros, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(0, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(0, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(cons(y1, y2), y3))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(cons(y1, y2), y3)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, tt), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, tt), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, nil), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, nil), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, zeros), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, zeros), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, 0), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, 0), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), y3)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), y3))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(tt, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(tt, y0), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(nil, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(nil, y0), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(zeros, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(zeros, y0), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(0, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(0, y0), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, y1), tt)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, y1), nil)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, y1), zeros)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, y1), 0)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(nil, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(nil, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(zeros, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(zeros, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(0, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(0, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, tt)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(nil, tt)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(nil, tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(zeros, tt)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(zeros, tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(0, tt)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(0, tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, nil)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(nil, nil)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(nil, nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(zeros, nil)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(zeros, nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(0, nil)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(0, nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, zeros)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(nil, zeros)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(nil, zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(zeros, zeros)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(zeros, zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(0, zeros)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(0, zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, 0)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(nil, 0)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(nil, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(zeros, 0)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(zeros, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(0, 0)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(0, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, tt)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, tt))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, nil)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, nil))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, zeros)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, zeros))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, 0)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, 0))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, cons(y2, y3))))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, cons(y2, y3)))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(tt, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(tt, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(nil, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(nil, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(zeros, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(zeros, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(0, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(0, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(cons(y1, y2), y3)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(cons(y1, y2), y3))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, tt), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, tt), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, nil), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, nil), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, zeros), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, zeros), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, 0), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, 0), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), y3))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), y3)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(tt, y0), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(tt, y0), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(nil, y0), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(nil, y0), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(zeros, y0), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(zeros, y0), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(0, y0), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(0, y0), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(0, cons(y0, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, cons(y0, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(tt, tt))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, tt)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(nil, tt))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, tt)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(zeros, tt))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, tt)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(0, tt))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, tt)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(tt, nil))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, nil)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(nil, nil))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, nil)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(zeros, nil))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, nil)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(0, nil))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, nil)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(tt, zeros))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, zeros)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(nil, zeros))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, zeros)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(zeros, zeros))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, zeros)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(0, zeros))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, zeros)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(tt, 0))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, 0)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(nil, 0))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, 0)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(zeros, 0))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, 0)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(0, 0))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, 0)))))

(144) Obligation:

Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:

active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(cons(z0, z1)) → cons(active(z0), z1)
cons(ok(z0), ok(z1)) → ok(cons(z0, z1))
cons(mark(z0), z1) → mark(cons(z0, z1))
proper(tt) → ok(tt)
proper(nil) → ok(nil)
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(0) → ok(0)
proper(cons(z0, z1)) → cons(proper(z0), proper(z1))

Tuples:

TOP(ok(zeros)) → c2(TOP(mark(cons(0, zeros))))
TOP(mark(zeros)) → c3(TOP(ok(zeros)))
TOP(ok(cons(cons(z0, z1), x1))) → c2(TOP(cons(cons(active(z0), z1), x1)), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
TOP(mark(cons(x0, tt))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(tt))), PROPER(cons(x0, tt)))
TOP(mark(cons(x0, nil))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(nil))), PROPER(cons(x0, nil)))
TOP(mark(cons(x0, zeros))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(zeros))), PROPER(cons(x0, zeros)))
TOP(mark(cons(x0, 0))) → c3(TOP(cons(proper(x0), ok(0))), PROPER(cons(x0, 0)))
TOP(mark(cons(x0, cons(z0, z1)))) → c3(TOP(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))))
TOP(mark(cons(tt, x1))) → c3(TOP(cons(ok(tt), proper(x1))), PROPER(cons(tt, x1)))
TOP(mark(cons(nil, x1))) → c3(TOP(cons(ok(nil), proper(x1))), PROPER(cons(nil, x1)))
TOP(mark(cons(zeros, x1))) → c3(TOP(cons(ok(zeros), proper(x1))), PROPER(cons(zeros, x1)))
TOP(mark(cons(0, x1))) → c3(TOP(cons(ok(0), proper(x1))), PROPER(cons(0, x1)))
TOP(mark(cons(cons(z0, z1), x1))) → c3(TOP(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1))), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
ACTIVE(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c15(CONS(cons(cons(active(z0), z1), x1), x2), ACTIVE(cons(cons(z0, z1), x1)))
PROPER(cons(tt, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(nil, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(zeros, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
TOP(ok(cons(zeros, z0))) → c2(TOP(mark(cons(cons(0, zeros), z0))))
AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))
U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(mark(mark(y0))), z1) → c1(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(mark(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(mark(mark(ok(mark(y0)))), ok(y1)) → c1(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(ok(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(ok(mark(y0)))), ok(ok(z1))) → c1(U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))))
U11'(mark(ok(mark(mark(y0)))), ok(z1)) → c1(U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)))
U11'(mark(ok(mark(ok(ok(y0))))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(mark(ok(mark(y0))))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))))
CONS(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c9(CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)))
CONS(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c9(CONS(mark(mark(y0)), z1))
CONS(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
CONS(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c9(CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, tt)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, tt))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, nil)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, nil))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, zeros)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, zeros))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, 0)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, 0))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3))))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3)))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(tt, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(tt, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(nil, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(nil, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(zeros, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(zeros, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(0, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3))))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, tt), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, tt), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, nil), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, nil), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, zeros), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, zeros), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, 0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, 0), z1)))
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PROPER(cons(tt, cons(cons(tt, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(tt, y0), z1)))
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PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(tt, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(tt, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(nil, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(nil, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(zeros, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(zeros, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(tt, cons(0, 0)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(0, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(y1, tt))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(y1, tt)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(y1, nil))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(y1, nil)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(y1, zeros))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(y1, zeros)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(y1, 0))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(y1, 0)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(y1, cons(y2, y3)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(y1, cons(y2, y3))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(tt, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(tt, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(nil, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(nil, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(zeros, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(zeros, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(0, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(0, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(y0, cons(cons(y1, y2), y3))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, cons(cons(y1, y2), y3)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, tt), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, tt), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, nil), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, nil), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, zeros), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, zeros), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, 0), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, 0), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), y3)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), y3))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(tt, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(tt, y0), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(nil, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(nil, y0), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(zeros, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(zeros, y0), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(0, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(0, y0), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, y1), tt)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, y1), nil)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, y1), zeros)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, y1), 0)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(nil, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(nil, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(zeros, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(zeros, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(0, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(0, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, tt)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(nil, tt)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(nil, tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(zeros, tt)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(zeros, tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(0, tt)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(0, tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, nil)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(nil, nil)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(nil, nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(zeros, nil)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(zeros, nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(0, nil)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(0, nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, zeros)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(nil, zeros)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(nil, zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(zeros, zeros)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(zeros, zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(0, zeros)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(0, zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, 0)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(nil, 0)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(nil, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(zeros, 0)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(zeros, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(0, 0)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(0, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, tt)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, tt))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, nil)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, nil))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, zeros)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, zeros))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, 0)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, 0))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, cons(y2, y3))))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, cons(y2, y3)))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(tt, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(tt, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(nil, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(nil, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(zeros, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(zeros, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(0, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(0, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(cons(y1, y2), y3)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(cons(y1, y2), y3))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, tt), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, tt), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, nil), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, nil), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, zeros), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, zeros), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, 0), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, 0), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), y3))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), y3)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(tt, y0), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(tt, y0), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(nil, y0), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(nil, y0), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(zeros, y0), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(zeros, y0), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(0, y0), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(0, y0), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(0, cons(y0, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, cons(y0, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(tt, tt))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, tt)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(nil, tt))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, tt)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(zeros, tt))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, tt)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(0, tt))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, tt)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(tt, nil))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, nil)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(nil, nil))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, nil)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(zeros, nil))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, nil)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(0, nil))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, nil)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(tt, zeros))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, zeros)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(nil, zeros))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, zeros)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(zeros, zeros))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, zeros)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(0, zeros))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, zeros)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(tt, 0))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, 0)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(nil, 0))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, 0)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(zeros, 0))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, 0)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(0, 0))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, 0)))))

S tuples:

PROPER(cons(x0, cons(x1, tt))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(tt))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, tt)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, nil))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(nil))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, nil)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, zeros))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(zeros))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, zeros)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, 0))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), ok(0))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, 0)))
PROPER(cons(x0, cons(x1, cons(z0, z1)))) → c8(CONS(proper(x0), cons(proper(x1), cons(proper(z0), proper(z1)))), PROPER(x0), PROPER(cons(x1, cons(z0, z1))))
PROPER(cons(x0, cons(tt, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(tt), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(tt, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(nil, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(nil), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(nil, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(zeros, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(zeros), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(zeros, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(0, x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(ok(0), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(0, x2)))
PROPER(cons(x0, cons(cons(z0, z1), x2))) → c8(CONS(proper(x0), cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x2))), PROPER(x0), PROPER(cons(cons(z0, z1), x2)))
PROPER(cons(cons(z0, z1), cons(x1, x2))) → c8(CONS(cons(proper(z0), proper(z1)), cons(proper(x1), proper(x2))), PROPER(cons(z0, z1)), PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(cons(x0, tt), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(tt)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, tt)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, nil), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(nil)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, nil)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, zeros), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(zeros)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, zeros)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, 0), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), ok(0)), proper(x2)), PROPER(cons(x0, 0)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, cons(z0, z1)), x2)) → c8(CONS(cons(proper(x0), cons(proper(z0), proper(z1))), proper(x2)), PROPER(cons(x0, cons(z0, z1))), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(tt, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(tt), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(tt, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(nil, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(nil), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(nil, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(zeros, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(zeros), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(zeros, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(0, x1), x2)) → c8(CONS(cons(ok(0), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(0, x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(cons(z0, z1), x1), x2)) → c8(CONS(cons(cons(proper(z0), proper(z1)), proper(x1)), proper(x2)), PROPER(cons(cons(z0, z1), x1)), PROPER(x2))
PROPER(cons(cons(x0, x1), tt)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(tt)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), nil)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(nil)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), zeros)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(zeros)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(cons(x0, x1), 0)) → c8(CONS(cons(proper(x0), proper(x1)), ok(0)), PROPER(cons(x0, x1)))
PROPER(cons(0, cons(x1, x2))) → c8(PROPER(cons(x1, x2)))
PROPER(cons(tt, tt)) → c8
PROPER(cons(nil, tt)) → c8
PROPER(cons(zeros, tt)) → c8
PROPER(cons(0, tt)) → c8
PROPER(cons(tt, nil)) → c8
PROPER(cons(nil, nil)) → c8
PROPER(cons(zeros, nil)) → c8
PROPER(cons(0, nil)) → c8
PROPER(cons(tt, zeros)) → c8
PROPER(cons(nil, zeros)) → c8
PROPER(cons(zeros, zeros)) → c8
PROPER(cons(0, zeros)) → c8
PROPER(cons(tt, 0)) → c8
PROPER(cons(nil, 0)) → c8
PROPER(cons(zeros, 0)) → c8
PROPER(cons(0, 0)) → c8
CONS(mark(mark(y0)), z1) → c10(CONS(mark(y0), z1))
CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c10(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)) → c10(CONS(ok(mark(y0)), ok(y1)))
CONS(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
CONS(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c9(CONS(ok(mark(y0)), ok(z1)))
CONS(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c9(CONS(mark(mark(y0)), z1))
CONS(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c9(CONS(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
CONS(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c9(CONS(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, tt)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, tt))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, nil)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, nil))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, zeros)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, zeros))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, 0)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, 0))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3))))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(y1, cons(y2, y3)))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(tt, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(tt, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(nil, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(nil, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(zeros, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(zeros, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(0, y1)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3)))) → c8(PROPER(cons(z0, cons(cons(y1, y2), y3))))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, tt), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, tt), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, nil), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, nil), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, zeros), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, zeros), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, 0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, 0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, cons(y1, y2)), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(tt, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(tt, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(nil, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(nil, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(zeros, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(zeros, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(0, y0), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(0, y0), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1))) → c8(PROPER(cons(cons(cons(y0, y1), y2), z1)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), tt)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), nil)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0))) → c8(PROPER(cons(cons(y0, y1), 0)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(tt, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(zeros, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(0, cons(y0, y1)))) → c8(PROPER(cons(0, cons(y0, y1))))
PROPER(cons(tt, cons(tt, tt))) → c8(PROPER(cons(tt, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, tt))) → c8(PROPER(cons(nil, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, tt))) → c8(PROPER(cons(zeros, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(0, tt))) → c8(PROPER(cons(0, tt)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, nil))) → c8(PROPER(cons(tt, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, nil))) → c8(PROPER(cons(nil, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, nil))) → c8(PROPER(cons(zeros, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(0, nil))) → c8(PROPER(cons(0, nil)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, zeros))) → c8(PROPER(cons(tt, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, zeros))) → c8(PROPER(cons(nil, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, zeros))) → c8(PROPER(cons(zeros, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(0, zeros))) → c8(PROPER(cons(0, zeros)))
PROPER(cons(tt, cons(tt, 0))) → c8(PROPER(cons(tt, 0)))
PROPER(cons(tt, cons(nil, 0))) → c8(PROPER(cons(nil, 0)))
PROPER(cons(tt, cons(zeros, 0))) → c8(PROPER(cons(zeros, 0)))
PROPER(cons(tt, cons(0, 0))) → c8(PROPER(cons(0, 0)))
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PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(tt, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(tt, y0), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(nil, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(nil, y0), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(zeros, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(zeros, y0), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(0, y0), y1)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(0, y0), y1))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, y1), tt)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, y1), nil)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, y1), zeros)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(cons(y0, y1), 0)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(cons(y0, y1), 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(nil, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(nil, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(zeros, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(zeros, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(0, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(0, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, tt)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(nil, tt)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(nil, tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(zeros, tt)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(zeros, tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(0, tt)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(0, tt))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, nil)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(nil, nil)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(nil, nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(zeros, nil)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(zeros, nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(0, nil)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(0, nil))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, zeros)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(nil, zeros)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(nil, zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(zeros, zeros)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(zeros, zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(0, zeros)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(0, zeros))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, 0)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(nil, 0)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(nil, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(zeros, 0)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(zeros, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(0, 0)))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(0, 0))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, tt)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, tt))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, nil)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, nil))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, zeros)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, zeros))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, 0)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, 0))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, cons(y2, y3))))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(y1, cons(y2, y3)))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(tt, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(tt, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(nil, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(nil, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(zeros, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(zeros, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(0, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(0, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(cons(y1, y2), y3)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(y0, cons(cons(y1, y2), y3))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), cons(y2, y3))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, tt), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, tt), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, nil), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, nil), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, zeros), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, zeros), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, 0), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, 0), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), y3))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, cons(y1, y2)), y3)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(tt, y0), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(tt, y0), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(nil, y0), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(nil, y0), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(zeros, y0), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(zeros, y0), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(0, y0), y1))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(0, y0), y1)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(cons(y0, y1), y2), y3)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), tt)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), nil)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), zeros)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(cons(y0, y1), 0)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, cons(y0, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, cons(y0, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, cons(y0, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(0, cons(y0, y1)))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, cons(y0, y1))))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(tt, tt))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, tt)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(nil, tt))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, tt)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(zeros, tt))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, tt)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(0, tt))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, tt)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(tt, nil))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, nil)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(nil, nil))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, nil)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(zeros, nil))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, nil)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(0, nil))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, nil)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(tt, zeros))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, zeros)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(nil, zeros))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, zeros)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(zeros, zeros))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, zeros)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(0, zeros))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, zeros)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(tt, 0))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(tt, 0)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(nil, 0))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(nil, 0)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(zeros, 0))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(zeros, 0)))))
PROPER(cons(zeros, cons(nil, cons(tt, cons(0, 0))))) → c8(PROPER(cons(nil, cons(tt, cons(0, 0)))))

K tuples:

AND(mark(mark(y0)), z1) → c11(AND(mark(y0), z1))
AND(mark(ok(y0)), ok(y1)) → c11(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))) → c12(AND(ok(y0), ok(y1)))
AND(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c12(AND(mark(mark(y0)), z1))
AND(ok(mark(ok(y0))), ok(ok(y1))) → c12(AND(mark(ok(y0)), ok(y1)))
ISNAT(ok(ok(y0))) → c13(ISNAT(ok(y0)))
S(ok(ok(y0))) → c16(S(ok(y0)))
S(ok(mark(y0))) → c16(S(mark(y0)))
S(mark(mark(y0))) → c17(S(mark(y0)))
S(mark(ok(ok(y0)))) → c17(S(ok(ok(y0))))
S(mark(ok(mark(y0)))) → c17(S(ok(mark(y0))))
LENGTH(mark(mark(y0))) → c18(LENGTH(mark(y0)))
LENGTH(mark(ok(y0))) → c18(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(ok(y0))) → c19(LENGTH(ok(y0)))
LENGTH(ok(mark(mark(y0)))) → c19(LENGTH(mark(mark(y0))))
LENGTH(ok(mark(ok(y0)))) → c19(LENGTH(mark(ok(y0))))
ISNATLIST(ok(ok(y0))) → c20(ISNATLIST(ok(y0)))
ISNATILIST(ok(ok(y0))) → c21(ISNATILIST(ok(y0)))
U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(ok(ok(y0)), ok(ok(y1))))
U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))) → c(U11'(ok(mark(y0)), ok(z1)))
U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)) → c(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))) → c(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(mark(mark(y0))), z1) → c1(U11'(mark(mark(y0)), z1))
U11'(mark(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(mark(ok(ok(y0))), ok(ok(y1))))
U11'(mark(mark(ok(mark(y0)))), ok(y1)) → c1(U11'(mark(ok(mark(y0))), ok(y1)))
U11'(mark(ok(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(ok(ok(y0))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(ok(mark(y0)))), ok(ok(z1))) → c1(U11'(ok(ok(mark(y0))), ok(ok(z1))))
U11'(mark(ok(mark(mark(y0)))), ok(z1)) → c1(U11'(ok(mark(mark(y0))), ok(z1)))
U11'(mark(ok(mark(ok(ok(y0))))), ok(ok(ok(y1)))) → c1(U11'(ok(mark(ok(ok(y0)))), ok(ok(ok(y1)))))
U11'(mark(ok(mark(ok(mark(y0))))), ok(ok(y1))) → c1(U11'(ok(mark(ok(mark(y0)))), ok(ok(y1))))

Defined Rule Symbols:

active, cons, proper

Defined Pair Symbols:

TOP, PROPER, ACTIVE, CONS, AND, ISNAT, S, LENGTH, ISNATLIST, ISNATILIST, U11'

Compound Symbols:

c2, c3, c2, c3, c8, c8, c15, c8, c8, c10, c11, c12, c13, c16, c17, c18, c19, c20, c21, c, c1, c9